Analyse au second ordre

L’analyse au second ordre tient compte de la manière dont la structure se déforme lorsque des charges lui sont appliquées. Numériquement parlant, toute la charge est divisée en portions plus petites et pour chaque portion de charge, la rigidité de la structure est modifiée.

Les effets de second ordre sont également appelés effets P-Δ et p-δ, et dans SCIA Engineer (entre autres), ces effets sont également appelés non-linéarités géométriques.

Voici quelques questions courantes des utilisateurs auxquelles notre équipe de support doit souvent répondre.

Quand dois-je effectuer une analyse au second ordre ?

Les parties de l’Eurocode spécifiques aux matériaux (EC2, EC3, EC4, EC5, etc.) décrivent dans leur chapitre 5 (Analyse structurelle) quand effectuer une analyse au second ordre. Pour les structures en acier, il faut faire attention aux faibles valeurs de αCr. Le coefficient indique une grande flexibilité (ou élancement) de la structure et, par conséquent, une grande sensibilité aux imperfections initiales et aux déplacements latéraux.

Le coefficient α_Cr  est déterminé en divisant la charge de flambement critique élastique pour un mode d’instabilité globale, FCr, par la charge de calcul sur la structure, F_Ed. En d’autres termes, nous devons nous fier aux résultats de l’analyse de stabilité pour savoir SI nous devons effectuer une analyse au second ordre ou non.

Ce que nous pouvons faire dans SCIA Engineer, c’est créer des combinaisons de stabilité à partir de combinaisons sélectionnées et obtenir les facteurs de flambement critiques qui correspondent à ces scénarios de charge. Ces facteurs sont simplement des multiplicateurs de la charge présente dans la combinaison de stabilité. Et parce que nos combinaisons de stabilité sont la « charge de calcul », ces facteurs sont exactement les coefficients αCr que nous recherchons.

Il est également important de savoir quel type d’analyse MEF de la structure nous aimerions effectuer pour obtenir les efforts internes de calcul: allons-nous nous en tenir à l’analyse élastique ou voudrions-nous également utiliser des rotules plastiques pour redistribuer les moments? Selon l’EC3, lorsque nous effectuons une analyse élastique et que l’un de nos αCr est inférieur à 10, nous devons concevoir la structure à l’aide des résultats de l’analyse au second ordre. Dans le cas de l’analyse en plasticité (par ex., rotule), tout αcr descendant en dessous de 15 indique la nécessité de passer au second ordre.

 

Comment puis-je insérer des imperfections globales selon la norme ?

Les imperfections géométriques dans un modèle EF garantissent que les effets du second ordre sont correctement déclenchés lors d’une analyse non linéaire. Les connaisseurs du chapitre 5 de l’EC3 demandent souvent comment prendre en compte les imperfections globales ou des éléments dans SCIA Engineer.
Les imperfections sont définies au niveau d’une combinaison non linéaire : chaque combinaison non linéaire peut avoir son propre ensemble d’imperfections. Ceci est utile, car différents scénarios de chargement induisent différents modes de défaillance, qui à leur tour sont influencés dans une, plus ou moins, grande mesure par une forme d’imperfection spécifique.

Les imperfections globales sont définies et stockées dans une bibliothèque spécifique dont on peut accéder directement depuis la boîte de dialogue des combinaisons non linéaires ou via le menu Bibliothèques > Cas de charge, Combinaisons > Imperfections globales. 

Pour définir une imperfection globale comme une inclinaison uniforme de la structure, utilisez l’option appelée « Inclinaison simple » et définissez l’inclinaison relative le long des axes X et Y globaux, dx et dy. Dans l’EC3, une formule est donnée au chapitre 5.3.2, figure 5.2, pour l’angle d’inclinaison φ. Dans les champs de saisie de la fenêtre de combinaison non linéaire, utilisez dx = 1000*φx (ou dx = 1000*tan(φx), selon la façon dont vous interprétez la figure). Le type d’imperfection « inclinaison simple » est parfait pour les structures régulières en plan et en hauteur.

Existe-t-il différentes possibilités pour définir les imperfections globales ?

Oui, plusieurs possibilités sont proposées par SCIA Engineer :

• Fonctions d’inclinaison: si vous souhaitez faire varier la valeur d’inclinaison et même le signe le long de la hauteur (ou de la longueur) d’une structure, vous pouvez utiliser des fonctions d’inclinaison. Ces fonctions sont des courbes multilinéaires définies manuellement, saisies et stockées via le menu Bibliothèques > Structure, analyse > Imperfections initiales.

• Imperfections basées sur un cas de charge : SCIA Engineer peut calculer la déformation d’une structure pour un cas de charge que vous spécifiez, et appliquer cette déformation comme une imperfection initiale. Si vous savez quelle forme d’imperfection vous aimeriez plus ou moins obtenir, vous pouvez définir un cas de charge qui provoquerait une telle déformation. Vous pouvez définir un cas de charge avec un pourcentage de toutes les charges de calcul. De cette façon, vous êtes certain que tous les effets de stabilité possibles seront représentés dans l’analyse.

• Une forme  de stabilité comme imperfection: vous pouvez sélectionner une combinaison de stabilité et l’une de ses formes de flambement à appliquer comme imperfection sur la structure.

 

Comment puis-je insérer les imperfections locales selon la norme ?

Comme mentionné ci-dessus, les imperfections sont attribuées par combinaison non linéaire. Le moyen le plus pratique d’attribuer la valeur des imperfections est de se référer (via les paramètres de la combinaison) aux paramètres de flambement. Cela permet de spécifier, via les systèmes de flambement, quels éléments doivent avoir des imperfections: il est souvent pratique de considérer les imperfections sur des éléments spécifiques que nous aimerions étudier plus en détail, plutôt que d’attribuer des imperfections à tous les éléments de la structure.

Existe-t-il différentes possibilités pour définir les imperfections locales ?

Oui. Au lieu de faire référence aux données de flambement, SCIA Engineer vous permet de définir les imperfections locales directement via les propriétés de la combinaison non linéaire. Gardez à l’esprit que la courbure spécifiée sera ensuite appliquée à tous les éléments de la structure.

 

Que signifie la fonctionnalité « Non-linéarité géométrique » ?

La non-linéarité géométrique fait référence à un calcul au second ordre. Lorsque vous exécutez une analyse alors que ce paramètre est activé, la structure se déforme au fur et à mesure de l’application de la charge, et les étapes de charge et la méthode numérique pour le calcul non linéaire sont prises comme cela est défini dans les paramètres du solveur. Par conséquent, les résultats seront différents d’une analyse linéaire, que les imperfections initiales soient appliquées ou non. Cependant, pour mesurer correctement les effets non linéaires importants, il est conseillé d’utiliser des imperfections.

Remarque : La non-linéarité géométrique est prise en compte dans l’analyse non linéaire, qui est à son tour effectuée pour les combinaisons non linéaires. Les effets du second ordre ne sont pas présents dans les résultats de l’analyse linéaire : les cas de charge résolus linéairement sont superposés pour obtenir les résultats des combinaisons linéaires. Dans un contexte non linéaire, le principe de superposition ne s’applique pas, car les effets des charges influencent les effets des autres charges.

Comment dois-je calculer l’amplitude de l’imperfection lorsque j’utilise une forme de flambement comme imperfection ?

Portiques

 

La norme EN 1993-1-1 donne des lignes directrices dans l’article 5.3.2 (11) sur la façon de calculer l’amplitude d’une forme d’imperfection dérivée directement de l’analyse de stabilité (η_Init). Cette méthode est valide pour les portiques et nécessite que vous dériviez l’amplitude manuellement et que vous l’entriez dans SCIA Engineer. Le choix d’une forme imparfaite vous appartient également.

Cette méthode de gestion des imperfections nécessite de définir une combinaison de charges pour l’analyse de stabilité et d’examiner visuellement les instabilités obtenues. Vous devez sélectionner la forme de flambement critique la plus basse qui représente la déformation globale de la structure dans la direction étudiée dans le scénario de charge non linéaire qui suivra. La forme d’instabilité et son amplitude sont à nouveau saisies par combinaison non linéaire.

Pour la dérivation de l’amplitude de l’imperfection, vous devez obtenir quelques données du modèle EF, des résultats de l’analyse linéaire et de stabilité, ainsi que de l’Eurocode.

L’imperfection est dérivée comme suit:

 

Avec:

• η_Cr: la forme du mode de flambement critique élastique, d’où le terme qui précède est la valeur d’amplitude

• χ et α: facteur de réduction et d’imperfection, tel que calculé pour la section critique; ceux-ci peuvent être tirés de la vérification de la norme acier
• α_ult,k: un facteur qui, appliqué aux charges dans un scénario linéaire, permettrait à l’élément le plus comprimé d’atteindre sa résistance de section caractéristique N_Rk
• α_Cr: facteur de flambement critique élastique pour la combinaison de stabilité et la forme de flambement sélectionnée. Pour assurer la cohérence, la combinaison de stabilité doit contenir les mêmes charges que celles analysées dans la combinaison non linéaire
• M_Rk: la résistance au moment caractéristique de la section transversale critique, calculée pour la classe de section concernée
• N_Rk: la résistance caractéristique de l’effort normal de la section transversale critique
• EIη''_cr,max: (terme entier) est le moment de flexion dû à η_Cr à la section transversale critique

Lorsque nous interprétons ce qui précède, nous voyons que nous devons déterminer:

• la section transversale critique de la structure (où les effets de charge conduisent à un taux d’utilisation maximal dans un contexte linéaire)
• l’élément le plus comprimé de la structure

α_ult,k, M_Rk, N_Rk, χ et α peuvent être obtenus à partir de la vérification de la norme acier. α_Cr et (EIη''_cr,max) peuvent être obtenues à partir des résultats de l’analyse de stabilité.

Plaques

Pour les structures modélisées par des éléments de plaque 2D, une procédure similaire s’applique, mais l’amplitude des imperfections doit être déterminée à partir de l’annexe C5 de la norme EN 1993-1-5. Encore une fois, pour mesurer correctement tous les modes de défaillance de flambement potentiels, il faut exécuter une analyse non linéaire avec des effets au second ordre et des imperfections initiales.

En raison de la polyvalence des modèles d’éléments plaques, en théorie, tous les modes de défaillance peuvent être mesurés avec :

• le maillage
• la formulation d’éléments pour la flexion et le cisaillement
• et la prise en compte des imperfections

Ceci est différent des structures en portique, où des vérifications supplémentaires sont nécessaires pour le flambement latéral-torsionnel et torsionnel.

L’annexe C5 de la norme EN 1993-1-5 suggère essentiellement deux possibilités pour la définition des imperfections :

• a. Une modélisation explicite des imperfections géométriques et structurelles :
  • les imperfections géométriques peuvent être approchées sous forme de formes de flambement, les amplitudes représentant 80 % des tolérances de fabrication;
  • Les imperfections structurelles (par ex., les contraintes résiduelles) peuvent être représentées par un schéma de contraintes attendu du procédé de fabrication avec des amplitudes égales aux valeurs (moyennes) attendues.
• b. Modélisation de la forme et de l’amplitude de l’imperfection selon une approche simplifiée donnée dans le tableau C.2. Dans ce cas, les imperfections géométriques et structurelles sont représentées par des imperfections géométriques équivalentes.
  
  Le tableau C.2 donne les valeurs d’amplitude par type de composant qui sont simples à dériver. Cependant, le chapitre précise qu’il peut être nécessaire de combiner différents types d’imperfections géométriques: en plus de l’imperfection principale, d’autres formes d’imperfections doivent être représentées (en plus) avec 70 % de leur valeur d’amplitude recommandée. SCIA Engineer n’autorise l’utilisation que d’une seule forme de flambement comme imperfection : si nécessaire, les imperfections géométriques d’accompagnement peuvent être remplacées par des efforts fictifs appropriés agissant sur la structure.